E module d'élasticité longitudinale des barres
Eo module d'élasticité longitudinale du matériau constitutif de la plaque
Application numérique
Recherher le système de barres équivalent à une plaque d'acier (tôle à larmes) de 8mm d'épaisseur, rectangulaire de dimensions 5000x15000.
Nous retenons un découpage en deux panneaux identiques (ce choix est libre).
On pourra, par exemple, dans le cas d'un plancher de bâtiment soumis à un chargement sismique, choisir de disposer un montant au droit du pied d'un équipement.
E = Eo
Présentation de la méthode
1 Généralités et notations
La structure est divisée en éléments de plaque de forme rectangulaire, d'épaisseur constante, petits par rapport à l'ensemble.
Chaque élément de plaque est assimilé à un système de barres droites articulées, formant un cadre rectangulaire ayant les mêmes dimensions que l'élément de plaque considéré (voir figure 1).
Fig. 1
La méthode consiste à déterminer les sections de ces barres de telles sortes que l'état de contraintes et de déformations au contour du système de ces barres articulées soit identique à celui de l'élément de la plaque.
Désignons par :
l1 longueur de la barre parallèle à l'axe des x
l2 longueur de la barre parallèle à l'axe des y
l4 longueur des barres formant les diagonales du cadre
S1, S2 et S4 leurs sections
Δ1, Δ2 et Δ4 leurs allongements
Σ1, Σ2 et Σ4 leurs allongements relatifs
N1, N2 et N4 efforts qu'elles subissent
E module d'élasticité longitudinale des barres
Eo module d'élasticité longitudinale du matériau de la
plaque
ν coefficient de poisson de ce matériau
Go module d'élasticité transversale
Pour la commodité des calculs, nous supposerons que l'épaisseur des éléments plans est égale à l'unité.
Les sections des barres du cadre rectangulaire équivalent à l'élément de plaque considéré, et seront donc toutes proportionnelles à l'épaisseur de l'élément plaque.
2. Déformations dues aux contraintes tangentielles
Sous l'action de la contrainte tangentielle τ, l'élément de plaque ABCD se déforme en parallélogramme (voir figure 2). Pour que le système de barres articulés ait la même déformation, il suffit d'appliquer aux sommets A et C du cadre rectangulaire ABCD les efforts suivants :
- Effort horizontal : N1 = τ l1 / 2
- Effort vertical : N2 = τ l2 / 2
Fig. 2
Les efforts N1 et N2 produisent donc :
a) dans la diagonale AC une traction N4
b) dans la diagonale BD une compression
L'allongement de la diagonale AC est :
Après déformation, le point C vient en C' (voir figure 2) et la distance CC' est :
Par suite, l'angle de déformation θ est égale à :
Or, dans un milieu homogène, nous avons :
En égalent les relations (1) et (2) ci-dessus, nous obtenons :
3. Déformations dues aux efforts normaux
Appliquons à l'élément de plaque rectangulaire un effort unitaire p parallèle à l'axe x et un effort unitaire q parallèle à l'axe y tels qu'il n'y ait pas de déformation parallèle à l'axe y.
D'après les relations de Hooke, nous avons :
d'où q = 
p et
Dans le système de barre rectangulaire, nous avons :
En admettant que q = p, nous tirons des relations (5) :
Par ailleurs, comme les côtés parallèles à l'axe y (AD et BC) ne changent pas de longueur, il vient (voir figure 3) :
En remplaçant Δ4 par la valeur trouvée en (7), nous obtenons :
Fig. 3
En égalant les valeurs Δ1 trouvées en (4) et en (8), nous obtenons :
En égalant les valeurs S4 trouvées en (3) et en (9), nous obtenons :
Par suite = 1/3
La valeur du coefficient de Poisson se trouve donc imposé par cette méthode.
4. Sections des barres du cadre rectangulaire équivalent à l'élément de plaque
En portant la valeur de ν dans l'expression de S4 en (9), il vient :
En égalant les valeurs Δ1 trouvées en (4) et en (6), et en remplaçant la valeur de ν par 1/3, nous obtenons :
Nous trouvons de même en choisissant p et q tels qu'il n'y ait pas de déformation suivant l'axe x :
