Présentation dans un cas simple de la démarche à suivre pour vérifier une poutre de plancher supportant une machine vibrante. Le dossier est complété du traitement d'un cas pratique.

Présentation des vérifications (résonance et fatigue) à effectuer pour justifier d'une poutre de plancher soumise à une fréquence excitatrice donnée.

Préambule

Nous souhaitons fournir ici une synthèse de la marche à suivre dans les cas les plus simples, mais courants dans la pratique, d'éléments de plancher supportant des machines vibrantes, en l'illustrant par un exemple.

Traiter en profondeur les problèmes théoriques des phénomènes vibratoires dépasse le cadre de cet article et n'entre pas dans l'esprit du site. Si tel est le souci du lecteur, il conviendra de se retourner vers la littérature spécialisée. Le vocabulaire est supposé connu.

Pour tout plancher soumis à des charges cycliques, engendrant des contraintes de flexion soit ondulées, soit alternées, IL Y A LIEU D'EFFECTUER une étude dynamique en vue de déterminer la réponse de l'ensemble de la structure, compte tenu notamment des amortissements.

Position du problème

Dans le cas de systèmes vibratoires simples, on considère seulement la fréquence propre fondamentale (sans ses harmoniques), et l'on procède aux deux vérifications suivantes :

• vérification à la résonance ;
• vérification à la fatigue.

La (ou les) fréquence(s) d'excitation et la répartition des masses doivent être définies, dans tous les cas, par les documents du marché.

Vérification à la résonance

Cette vérification consiste à s'assurer que la fréquence d'excitation est suffisamment éloignée de la fréquence propre fondamentale des éléments excités.

Il est d'usage de considérer que, si la fréquence d'excitation est deux fois plus grande ou deux fois plus petite que la fréquence propre de l'élément étudié, il n'y a pas de « danger » de résonance, indépendamment du degré d'amortissement du système.

Ceci ne constitue pas une règle stricte, mais fournit un « bon ordre de grandeur ».

En effet, si l'on examine la formule du coefficient d'amplification β des oscillations forcées, issue des équations différentielles d'équilibre :

où :

Ω    la fréquence d'excitation

ω    la fréquence propre de l'élément

n     constante d'amortissement

Cette formule est traduite sur la figure ci-dessous.

On constate que, pour les rapports de fréquence Ω / ω = 2 ou Ω / ω = 0,5 la valeur du coefficient d'amplification est faible, et que l'influence de l'amortissement peut être négligée.

Par contre, si la fréquence propre et la fréquence d'excitation sont voisines, et s'il n'y a pas d'amortissement (n=0), l'amplitude des oscillations forcées croît indéfiniment : il y a résonance.

Ainsi, si la fréquence propre et la fréquence d'excitation sont voisines (Ω / ω ≈ 1), il devient nécessaire de modifier la réponse de la structure. Plusieurs possibilités s'offrent pour atteindre ce but :

1. on déplace la fréquence propre, en modifiant :
   1. soit la (ou les) masse(s) excitée(s),
   2. soit l'inertie des profils (en « + » ou en « - » mais attention aux flèches),
   3. soit la position de la (ou des) masse(s)
2. on modifie l'amortissement du système.

Vérification à la fatigue

Après avoir déterminé l'état de contrainte généré par les vibrations, qui se superposent aux contraintes d'origine statique, en connaissant la durée de vie escomptée de l'élément et les effets d'entaille que les dispositions constructives sollicitées par les vibrations peuvent avoir, la vérification à la fatigue peut s'effectuer sans difficulté suivant le code retenu (Règles F.E.M., Eurocode...)

Cas des poutres isolées supportant des machines

Il arrive fréquemment dans la pratique que les poutres supportant des machines vibrantes lourdes (broyeurs, moteurs...) peuvent être désolidarisées  du reste du plancher et leurs réactions d'appui sont transmises directement aux fondations.

Dans ces cas, on a un système vibratoire simple et il devient possible de procéder aux vérifications nécessaires par des calculs simples.