Rappel : Le POIDS (exprimé en N) est le produit de la MASSE par l'accélération de la pesanteur (9,81 m/s² au niveau de la mer).

M (en kg) = P (en N) / 9,81

Exemple : Un homme de 80 kg (sa MASSE) a un POIDS de 80 x 9,81 = 785 N ou 78,5 daN.

ENONCE

Soit une poutre de portée 1,5 m constituée de 2 fers d'inertie I_yy = 346 cm⁴ chacun, supportant un moteur de poids total 180 daN.

• le moteur est doté d'une masse tournante « m » (m.g = 40 daN) présentant un balourd ;
• la distance « d » du centre de gravité de la masse à l'axe de rotation est de 0,1 cm ;
• la vitesse de rotation « n » est de 3000 tours/minute

Note : On suppose que toutes les dispositions nécessaires sont prises vis-à-vis des instabilités d'éléments (en particulier, la poutre est stabilisée au déversement).

VERIFICATION A LA RESONANCE

Rappel :

ω : vitesse angulaire (ou pulsation propre) exprimée en rad/sec

n : vitesse de rotation en tours par minutes

ν : fréquence exprimée en Hertz (Hz)     

T : période d'oscillation exprimée en secondes.

Evaluation de la fréquence d'excitation

La fréquence de rotation vaut :

La pulsation propre correspondante vaut :

Evaluation de la fréquence propre du système

Le système vibratoire est constitué par les 2 fers porteurs et le moteur ; on négligera la masse des poutres.

Le formulaire « Période de vibration propre » de SteelBizFrance (rubrique « Outils de calculs ») fournit les indications nécessaires :

ATTENTION : Dans la dernière formule exprimant la période en fonction de la flèche, la flèche doit être exprimée en « m ».

Dans notre cas :

On constate que la fréquence propre du système et la fréquence d'excitation sont très voisines (respectivement 50 Hz et 53,7 Hz) ; par conséquent IL Y A DANGER DE RESONANCE.

Pour l'éviter, on doit déplacer la fréquence propre.

On a noté que la flèche calculée ci-dessus était très faible en regard de la portée de la poutre ; on peut donc jouer sur l'inertie des profils et diminuer celle-ci.

Soit 2 UPN 80

Inertie : 2 x 106 cm⁴

Module de flexion d'un UPN 80 : 26,6 cm³

Les calculs précédents deviennent :

Le rapport entre fréquence d'excitation et fréquence propre (ou entre les pulsations) est égal à :

50 / 29,7 = 314 / 186 ≈ 1,69

Ce rapport permet considérer que l'on s'est éloigné de la zone « critique » (voir figure de l'article précédent) et qu'il est raisonnable de penser que le phénomène de résonance pourra être évité.

Sur cette même courbe, on note que l'on se situe dans la zone où l'amortissement n'a que peu d'influence ; on pourra donc évaluer le coefficient d'amplification β, avec une bonne approximation en supposant
n = 0, soit :

EVALUATION DES CONTRAINTES

Evaluation de la force d'excitation

C'est la force centrifuge exercée par l'excentrement de la masse.

Evaluation des contraintes

Cette force, si elle était appliquée statiquement, génèrerait des contraintes de flexion égales à :

Cette contrainte, du fait des oscillations forcées, est affectée du coefficient calculé précédemment

σ_fy = 28,3 x 0,538 = 15,2 N/mm²

Elle est de type sinusoïdal et se cumule aux contraintes constantes dues au poids propre du moteur :

Pour obtenir les contraintes extrêmes sur chaque fibre :

On n'a pas procédé, ici, à la vérification à l'ELU, à l'évidence satisfaite.

VERIFICATION A LA FATIGUE

Note : cette vérification ne constitue pas l'objet principal du dossier, aussi nous bornerons nous à présenter très succinctement la vérification, dans 2 référentiels différents,, sans rappel des textes utilisés auxquels il conviendra de se référer.

1 - SELON FEM

On appliquera POUR LES BESOINS DE CET EXEMPLE, les règles FEM « Règles pour le calcul des appareils de levage » 2^ème édition - Décembre 1970.

Ce texte n'est pas directement applicable mais a constitué pendant longtemps le seul référentiel disponible pour approcher ce phénomène de fatigue ; c'est également pourquoi nous avons retenu la seconde édition (au lieu de la 3^ème parue en 1987) qui est plus « intuitive » d'approche pour le classement des éléments ; il faut en effet interpréter le document pour déterminer le « classement » de la poutre à vérifier.

La contrainte admissible de fatigue de détermine en fonction du rapport des contraintes maximales et minimales, du classement de l'élément de structure et des effets d'entaille éventuels.

Dans notre cas, on supposera :

• une analogie au groupe 4 (2 millions de cycles - taux de sollicitation faible)
• effets d'entaille :

• perçages en semelle supérieure (comprimée)     W2
• métal brut en semelle inférieure tendue              W0

On utilise la courbe reproduite ci-dessous (extrait des règles FEM précitées)

Sont figurées :

• en bleu les courbes correspondant aux effets d'entaille ;
• droite supérieure : semelle principalement tendue : cas W0
• courbe inférieure : semelle principalement comprimée avec perçages : cas W2
• en rouge la verticale correspondant au rapport des contraintes extrêmes.

Il ressort de l'examen de cette courbe que la vibration du moteur ne diminue pas la valeur des contraintes admissibles qui reste inférieure à 160 N/mm² sous les charges NON pondérées (pour un acier S235), ni la durée de vie escomptée.

2 - SELON ENV - P 22-311-9 - Décembre 1992

On raisonne sous combinaisons rares (P 22-311-9 § 9.1.4(2)c)

Etendue de contrainte :

27,9 + 2,5 = 30,4 N/mm²

Il n'est pas nécessaire de considérer le nombre de cycles dans la mesure où l'étendue de contrainte reste systématiquement inférieure à la limite de troncature divisée par le coefficient partiel de sécurité pour la résistance à la fatigue ; la valeur de ce coefficient est donnée par le Tableau 9.3.1bis de P 22-311-9. On retient la valeur (enveloppe) de 1,25.

Pour les classes de détail correspondant à notre cas, les limites de troncature valent respectivement :

·         64 N/mm²   classe 160 (métal brut)

·         45 N/mm²   classe 112 (perçages en semelle tendue)

o        30,4 < 45 / 1,25 = 36 N/mm²                 OK !