Interaction M-N
1 - Modules plastiques des composants
Armature :
Béton :
2 - Courbes d'interaction MN
Formules pour construire le diagramme (extraites principalement de l'annexe C de l'eurocode 4 - version ENV) :
Npl,Rd connu
Npm,Rd = Ac fcd
hn, dont la formule est donnée plus bas, définit la position de l'axe neutre.
Wpsn = Σ l Asn,i ez(i) l
Wpcn = (d - 2 t) hn² - Wpsn
Wpan = d hn² - Wpcn - Wpsn
Mn,Rd = Wpan fyd + Wpsn fsd + Wpcn fcd / 2
Mpl,Rd = Mmax,Rd - Mn,Rd
Point A :
Npl,Rd = 3560kN
Point C :
Npm,Rd = 50669 x 10 / 1,5 (x10-3)= 1351kN
Point D, pour yy :
Mmax,Rd,y = [ 562 x 275 / 1 + 75,98 x 400 / 1,15 + 2753 / 2 x 40 / 1,5 ] (x10-3)
= 218 kN.m
Point D, pour zz :
Mmax,Rd,z = [ 562 x 275 / 1 + 65,79 x 400 / 1,15 + 2753 / 2 x 40 / 1,5 ] (x10-3)
= 214 kN.m
Asn,y = Asn,z = 2 x 201 = 402 mm² (**)
Wpsn,y = Wpsn,z = 0 (car les armatures dans la zone concernée sont positionnées sur l'axe neutre)
(**) D'un point de vue purement géométrique Asn,z = 0mm². Mais la position des armatures n'est pas maîtrisée. Considérer Asn,z = 402mm² nous place en sécurité.
Wpa,n,y = 2 x 8 x 34,57² = 19121mm3
Wpa,n,z = ( 273 - 2 x 8 ) x 34,57² - 0 = 307137mm3
Mn,Rd,y = 19121 x 275 / 1 + 0 + 307137/2 x 40 / 1,5
Mn,Rd,y = 9,35 x 106N.mm = 9,35kN.m
Mpl,Rd,y = 218 - 9,35 = 209 kN.m
Mpl,Rd,z = 209 kN.m
Autour de yy
Autour de zz
3 - Effets du second ordre
Ces diagrammes d'interaction MN s'appliquent à une vérification de section.
Les sollicitations mentionnées au paragraphe 1 sont des « sollicitations du premier ordre ». On ne peut donc pas les utiliser comme telles. Elles doivent être « corrigées » par la prise en compte des effets du second ordre.
Ceux-ci sont de deux natures :
- Effets du second ordre sur la longueur du poteau (amplification du moment fléchissant) ;
- Imperfections géométriques de l'élément (imperfection initiale équivalente en arc).
3 - 1 Effets du second ordre sur la longueur du poteau
§6.7.3.4(2) Rigidité efficace réduite en flexion
(EI)eff,II,y = 0,9 ( 210000 x 5852 + 200000 x 538,5 + 0,5 x 35000 x 20875 )
(EI)eff,II,y = 153,1 x 107 N.cm4/mm² = 153,1 x 1011 N.mm²
Ncr,eff,y = 16797kN
§ 6.7.3.4(5) Prise en compte des effets du second ordre
L'amplification du moment fléchissant dépend de la distribution des moments (Tableau 6.4)
3 - 2 Imperfections géométriques de l'élément
§6.7.3.4(4) et tableau 6.5
Imperfection locale initiale :
ρs ≤ 3% donc eoy = eoz = 3000/300 = 10mm
Effet du second ordre appliqué à l'imperfection locale :
De même, ez = 10,7mm
4 - Vérification sous M-N
Selon EN1993-1-1 §5.3.2(2), « Il convient de considérer dans la forme et le sens les plus défavorables à la fois le flambement dans le plan et le flambement hors plan. »
Il persiste une ambiguïté quant à la combinaison des imperfections locales en arc dans deux plans perpendiculaires.
Pour les besoins de l'exercice et afin d'illustrer les méthodes de vérifications en flexion déviée, nous avons retenu :
· Cas 1, flambement suivant yy :
o Superposition de l'amplification du moment et de l'imperfection locale ey ;
o Prise en compte simultanée d'une imperfection transversale égale à 50% de ez.
· Cas 2, flambement suivant zz :
o Amplification du moment ;
o Imperfection locale transversale ez ;
o Prise en compte simultanée d'une imperfection égale à 50% de ey superposée à l'effet du moment.
Cas 1 :
Sollicitations à considérer :
Nvy = NEd = 1100kN
Mvyy = k My,Ed + NEd ey = 1 x 50 + 1100 x 10,7 x 10-3 = 61,77kN.m
Mvzy = 50% NEd ez = 0,5 x 1100 x 10,7 x 10-3 = 5,89kN.m
Nvy / Npl,Rd = 1100 / 3560 = 0,309 è secteur CD
De même : μdz = 1,009
Cas 2 :
Sollicitations à considérer :
Nvz = NEd = 1100kN
Mvyz = k My,Ed + 50% NEd ey = 1 x 50 + 0,5 x 1100 x 10,7 x 10-3 = 55,88kN.m
Mvzz = NEd ez = 1100 x 10,7 x 10-3 = 11,77kN.m
Nvz / Npl,Rd = 0,309 è secteur CD
μdy et μdz gardent les mêmes valeurs que ci-dessus.
Critère d'acceptation :
§6.7.3.7(2)
D'après §6.7.3.6(1), pour une nuance S275H, αMy = αMz =0,9
Autour de yy
Autour de zz
Le poteau est vérifié. |
